一维非牛顿渗流方程的边界层问题研究
非牛顿渗流方程（也称发展-Laplace方程）是一类重要的拟线性抛物型方程,来源于自然界广泛存在的扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等领域.在过去的六十年中,非牛顿渗流方程已成为广泛研究的课题,并取得丰硕成果,然而,并没有关于该方程边界层理论的研究.事实上,边界层理论已经成为现代流体力学的一个重要分支,诸如Prandtl边界层方程的适定性等问题正吸引着越来越多学者的关注.本文旨在研究具有小扩散系数的一维非牛顿渗流方程初边值问题的边界层现象,一个主要目的是推广Frid和Sheulkhin于1999年发表在期刊Communications in Mathematical Physics上的一个结果.主要研究内容如下:1.当扩散系数趋于零时该问题边界层的存在性及边界层厚度估计问题.当边值函数中有一个不恒等于零时,我们证明了边界层的存在性,并给出了边界层厚度的一个几乎最优的估计.研究该问题的重点是要建立解关于扩散系数的一致估计.由于非牛顿渗流方程具有非线性结构和退化性,所以研究起来有很大难度.一个主要困难是无法直接通过方程得到所需要的一致估计.为克服这个困难,首先采用抛物正则化方法得到了一个光滑解序列,然后运用能量估计等技巧建立光滑解的一致估计,最后通过弱收敛方法得到了一个连续解的存在性及所需要的一致估计.需要指出的是,Frid和Sheulkhin处理牛顿流体的研究方法并不适用本文的问题.2.当该问题存在边界层时的最优边界层厚度的存在性.对于牛顿流体的相应问题,大量的实验数据预示着存在一个最优边界层厚度,但是至今还没有一个严格的数学证明,目前仅见一些形式上的分析.对于非牛顿渗流方程,我们借助Barenblatt型解构造了一个最优边界层厚度.3.当扩散系数趋于零时解的渐近行为,如最优收敛速率与最优爆破速率.由于边界层的出现,解在边界附近的结构异常复杂.因此,研究解在当扩散系数趋于零时的渐近进行为有助于了解和认识边界层的发生机制和内部状态.一个结果表明:当出现边界层时,解必在边界层内部发生爆破.总之,本文揭示了非牛顿渗流方程的一个新性质:边界层现象,并针对退化情形的初边值问题建立了比较完整的边界层理论,这是对非牛顿渗流方程数学理论的一个重要补充.
- 作者：
- 赵旭
- 学位授予单位：
- 北方民族大学
- 专业名称：
- 基础数学
- 授予学位：
- 硕士
- 学位年度：
- 2021年
- 导师姓名：
- 朱立军
- 中图分类号：
- O175.26
- 关键词：
- 非牛顿渗流方程；边界层；边界层厚度；收敛率；爆破速率
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