高阶保能量散逸性方法的理论与应用研究
Study of Theory and Application for High-order Preserving Energy Dissipation Method
在数学和物理中有一大类偏微分方程,如Allen-Cahn方程,扩散方程,Cahn-Hilliard方程和Ginzburg-Landau方程等.这些偏微分方程所描述的系统具有能量散逸性,即微分方程所描述的系统能量随着时间的增长会逐渐减少.在数值模拟中,设计保持微分方程系统能量散逸性的数值格式对精确地模拟微分方程所描述的系统的行为具有重要的意义.1984年,冯康院士及其研究小组提出了Hamilton系统的辛几何算法.1997年,在辛几何算法的基础上,Bridges和Reich等人提出偏微分方程的多辛算法.辛和多辛算法具有长时间精确计算能力和近似保系统的能量守恒特性已广泛应用于非线性光学,量子物理,等离子物理以及电磁场方程的计算.近年来,微分方程保能量散逸性的数值方法在保结构算法研究领域内备受关注,然而国内还少有人研究.1999年Quispel和McLachlan等人提出了保持微分方程能量散逸性的二阶平均向量场方法.Furihata和Matsuo提出了保持微分方程能量散逸性的离散变分导数方法.最近Quispel等人利用修正平均向量场方法构造了微分方程保能量散逸性的高阶平均向量场方法.对于欧式空间或者黎曼流形上的梯度系统,能量会随着时间的增长会单调递减.代数稳定的龙格-库塔方法在适当的步长限制下,能量也会逐步减少.尤其是Radau IIA方法,它在刚性梯度系统中能够保能量单调性和能量阻尼.离散梯度方法和平均向量场配点法都是保能量的,但是在极度刚性梯度系中并不能减少震荡.在第一章中,我们讨论无约束和含有约束条件下梯度系统的能量下降方法,其中包括隐式龙格库塔方法和平均向量等方法.在第二章中,提出了Cahn-Hilliard方程的高阶保能量散逸性方法.首先理论证明了Cahn-Hilliard方程能量的散逸性,然后在空间上应用傅里叶拟谱方法,时间上应用高阶平均向量场方法,构造了高阶保能量散逸性格式,最后利用该格式在不同初始条件下进行数值模拟.数值结果表明,该格式能很好地模拟了Cahn-Hilliard方程解的行为且保持了Cahn-Hilliard方程能量的散逸性.第三章,我们构造了二维Allen-Cahn方程的高阶保能量散逸性格式,并利用该格式对二维Allen-Cahn方程进行了精确的数值模拟,数值结果表明二维Allen-Cahn方程能保二维Allen-Cahn方程能量散逸性这一重要物理特性.
- 作者：
- 赵鑫
- 学位授予单位：
- 海南大学
- 专业名称：
- 应用数学
- 授予学位：
- 硕士
- 学位年度：
- 2016年
- 导师姓名：
- 孙建强
- 中图分类号：
- O241.82
- 关键词：
- 能量散逸性；高阶平均向量场方法；二维Allen-Cahn方程；Cahn-Hilliard方程
- energy dissipation property; high-order average vector field method; Energy pre- serving method; Allen-Cahn equation; 2-dimension Cahn-Hilliard equation;